Finite Difference Calculation of Electron States in CdTe-CdS Core-Shell Quantum Dots (Pengiraan Perbezaan Terhingga bagi Keadaan Elektron dalam Titik Kuantum Teras-Petala Cdte-Cds) C . Y . W OON*, G . G OPIR & A . P . O THMAN

Finite Difference Calculation of Electron States in CdTe-CdS

Core-Shell Quantum Dots

(Pengiraan Perbezaan Terhingga bagi Keadaan Elektron

dalam

Titik Kuantum Teras-Petala Cdte-Cds)

C.Y.WOON*,G.GOPIR &A.P.OTHMAN

 

 Sains Malaysiana 40(1)(2011): 55–58
Finite Difference Calculation of Electron States in CdTe-CdS
Core-Shell Quantum Dots
(Pengiraan Perbezaan Terhingga bagi Keadaan Elektron
dalam
Titik Kuantum Teras-Petala Cdte-Cds)
C.Y.WOON*,G.GOPIR &A.P.O
THMAN
ABSTRACT
We determined theoretically the confined electron states in a colloidal core-shell CdTe-CdS quantum dot system with CdTe as the core material with electron effective mass 0.095 me, CdS as barrier material of electron effective mass 0.25
me and having conduction band offset of 0.265 eV. Based on the one band effective mass approximation, the Schrödinger equation of this system with BenDaniel-Duke Hamiltonian is numerically solved using the finite difference method to obtain the energy level and wave function of the electron confined states. These electronic parameters are obtained by diagonalising the resultant N×N Hamiltonian matrix for principal quantum number n=l – 3, orbital quantum number l=0 – 3 and dot size r=10 – 100 Å. For comparison, we also analytically solve the Schrödinger equation with classical Hamiltonian and similar input parameters to determine the electronic properties. There is good agreement in the results of these two computational methods, where specifically their energy levels differ by less than 15%.
Keywords: BenDaniel-Duke Hamiltonian; core-shell; electron state; quantum dot; Schrödinger equation
ABSTRAK
Kami menentukan secara teori keadaan elektron terkurung dalam sistem titik kuantum teras-petala CdTe-CdS berkoloid
dengan CdTe sebagai bahan teras dengan jisim berkesan elektron 0.095 me
, CdS sebagai bahan sawar dengan jisim berkesan elektron 0.25 me
 dan mempunyai ofset jalur konduksi 0.265 eV. Berdasarkan penghampiran jisim berkesan satu jalur, persamaan Schrödinger bagi sistem ini dengan Hamiltonan BenDaniel-Duke telah diselesaikan secara berangka dengan menggunakan kaedah perbezaan terhingga untuk mendapatkan aras tenaga dan fungsi gelombang bagi elektron yang terkurung. Parameter-parameter elektronik ini telah diperoleh dengan memenjurukan matriks Hamiltonan N × N
bagi nombor kuantum prinsipal n=l – 3, nombor kuantum orbit l=0 – 3 dan saiz titik r=10 – 100 Å. Sebagai perbandingan, kami juga menyelesaikan persamaan Schrödinger secara analitik dengan Hamiltonan klasik dan parameter input serupa untuk menentukan sifat-sifat elektronik itu. Terdapat persetujuan yang baik antara dua kaedah komputasi ini dan secara khusus aras tenaga berbeza dengan kurang daripada 15%. Kata kunci: Hamilton BenDaniel-Duke; keadaan elektron; persamaan Schrödinger; teras-petala; titik kuantum
INTRODUCTION
Recently, semiconductor quantum dots, especially in the form of nanocrystals, have attracted considerable attention and interest. Research involving quantum dots has exploded since wet chemistry techniques were developed to produce
colloidal nanoparticles of the desired radius with narrow size distribution (Alivisatos 1996; Klimov et al. 2000). Among II-VI  semiconductor  material  quantum  dots, cadmium telluride (CdTe) is one of the compounds providing very
high photoluminescence quantum efficiency and could be synthesized in aqueous solution with simplicity and high reproducibility. Due to the tunability of the electro-optical properties of the II-VI materials, their electronic band gaps may  be  optimized  for  laser  applications  and  biolabeling as well as in the improvement of solar cells (Schaller & Klimov  2004).
  Other  successful  systems  of  core-shell nanocomposites include PbSe-PbS and CdSe-ZnS. These II-VI  materials  differ  in  the  fundamental  semiconductor
properties  of  dielectric  constant,  lattice  constant,  band offset and the most important quantity of effective mass. The BenDaniel-Duke boundary condition, derived in the earlier works of Conley et al. (1966) and BenDaniel and
Duke (1966), have been applied to solve the Schrödinger equation for the electronic envelope function and predict the  electronic  properties  of  quantum  dots.  In  this  study, we determine the energy levels and wave functions of an
electron confined in a core-shell CdTe-CdS quantum dot system by solving its Schrödinger equation using finite difference  and  BenDaniel-Duke  Hamiltonian.  We  then compare  these  results  with  those  obtained  analytically
using classical Hamiltonian.
METHODS
The  envelope  function  for  an  electron  in  a  core-shell quantum dot system is given by the Schrödinger equation, 56
HΨ
=
EΨ
. In this one band effective mass approximation,
H
 is the Hamiltonian operator,
E
 is the eigen energy, and
Ψ
=
Ψ
(
r
,
q
,
f
) =
 R
(
r
)
Y
(
q
,
f
) the eigenfunction; where
R
(
r
) is
the radial component and
Y
(
q
,
f
) is the angular component
of  spherical  harmonics.  For  this  spherically  symmetric
system, the solutions of
Ψ
 are only dependent on radial
distance
r
; and the solution of
Ψ
 thus reduces to the one-
dimensional  form  of
R
(
r
)  (Banyai  &  Koch  1993;  Schiff
1968). In our study, the spherical core-shell quantum dot
system contains a CdTe core or well material of electron
effective  mass
m
1
,  radius
r
a
  and  potential
V
a
  =  0;  and  a
CdS shell or barrier material of electron effective mass
m
2
,
thickness
r
s
 =
 r
b
 -
r
a
 and potential
V
b
 =
V
o
> 0. This core-shell
quantum dot is immersed in a medium of infinite potential,
V
(
r
>
r
b
) =
∞
 with
r
b
 =
 r
a
 +
r
s
, resulting in a standalone
or  isolated  quantum  dot  system  (Figure  1(a)-(b)).  The
conduction band offset of the system is
V
b
 -
V
a
 =
V
o
.
The BenDaniel-Duke form of the Hamiltonian,
H
 =
-
ћ
2
/2 [
Ñ
(
m
-1
Ñ
)] +
V
(
r
), was introduced for the Schrödinger equation  to  resolve  the  issue  of  mass  discontinuity  in  a system with position dependent mass,
m
 =
m
(
r
) (BenDaniel
&  Duke  1966;  Conley  et  al.
1996).  The  Schrödinger equation with the BenDaniel-Duke Hamiltonian then could be numerically solved by the finite difference method. Specifically, the central difference of the finite difference method approximates the continuous Schrödinger equation with a discrete form:
(1)
where  the  radial  domain  of
r
∈
  [0,
r
b
]  is  divided  into
N
regions of grid size
b
=
 r
b
 /
N
 . At the
i
-th nodal point with
i
= 0, 1, 2, ...,
N,
 the local values of the position, effective
mass, potential and wave function are
r
i
,
m
i
(
r
),
V
i
(
r
) and
R
i
(
r
) =
 R
nl,i
(
r
), respectively. By applying the BenDaniel-
Duke (1966) boundary condition, i.e. continuity of (
dR
i
 /
dr
)/
m
i
 and
R
i
, at
r
a
; and the fixed boundary condition of
R
N+1
= 0 at
r
b
, we construct an
N
 ×
N
 Hamiltonian matrix
and  solve  for  eigenvalues
E
nl
  and  eigenfunctions
R
nl,i
.
We  have  performed  this  computational  procedure  using
N
=100, principal quantum number
n
= 1 to 3 and orbital
quantum number
l
= 0 to 3 for the core-shell CdTe-CdS
quantum dot system of core radius
r
a
 = 10 to 100 Å and
shell thickness
r
s
=
r
a
.
To verify the finite difference computed results of
the BenDaniel-Duke Hamiltonian, we analytically solved
the  Schrödinger  equation  with  classical  Hamiltonian,
H
= -
ћ
2
Ñ
2
/
2
m
 +
V
(
r
), for this quantum dot system of similar
parameters, except that
r
s
=
∞
. The radial functions for this classical Hamiltonian with finite potential and position
dependent mass are of Hankel type I (Schiff 1968; Schwabl 1992), with
(2)
In the analytical method we also use the BenDaniel-Duke boundary condition of (
dR
1
(
r
a
-
)/
dr
)/
m
1
 = (
dR
2
(
r
a
+
)/
dr
)/
m
2
  and
R
1
(
r
a
-
)  =
R
2
(
r
a
+
)  at  the  interface  point  of
r
=
r
a
.  Then,  the  energies
E
nl
  and  eigenfunctions
R
nl
  for  the classical Hamiltonian were obtained by finding the roots
of the transcendental equation (Eq. 2).
RESULTS AND DISCUSSION
In the simulations, we use the respective electron effective masses of 0.095
me and 0.25
me for CdTe and CdS; and
the conduction band offset of 0.265 eV (Kuhaimi 2000;
Madelung  2004).  Figure  2(a)  illustrates  the  normalized
electron  radial  wavefunction,
Rnl, produced by the finite
difference calculation for the BenDaniel-Duke Hamiltonian
FIGURE
 1. Core-shell CdTe-CdS quantum dot system showing (a) core and shell layers; and (b) layer potential profile
(a)
(b)
57
in the core-shell CdTe-CdS quantum dot system with core
radius equal to shell thickness,
r
a
 =
r
s
 =100 Å, and thus
r
b
= 200 Å. It shows that only the first three lowest states are
confined for this system. Figure 2(b) shows the variation of
energy level,
E
nl
, for the lowest six states when the dot sizes
are
r
a
 =
r
s
 = 20 – 100 Å with quantum numbers
n
 =
l
 - 2,
l
 = 0 – 3; for both the BenDaniel-Duke Hamiltonian with finite difference (
BDDH-FD) and classical Hamiltonian with analytical (CH-AN) approaches. By sorting the calculated results, the energy level of a confined state is found to be
inversely proportional to the dot radius as expected for a simplified picture of a particle-in-a-box model.Table  1  shows  that  the  percent  difference  in
confined energy levels derived from the BenDaniel-Duke
Hamiltonian and classical Hamiltonian is less than 15%;
and that the percent error decreases with increasing energy
level. In addition, Table 1 gives an idea about the transition
energies  of  electrons  in  core-shell  CdTe-
CdS  quantum
dots. For example, electrons of CdTe-CdS quantum dots
of  radius  50  Å  will  be  excited  if  we  provide  87.3  meV
of  energy.  This  unique  property  may  lead  to  sensor  or
application that emits photons of energy 80 - 90 meV. Thus,
we also present the electron transition energy in Table 2
which  follows  the  selection  rule  that  principal  quantum
number
n
 is always greater than orbital quantum number
l
and electron transition from orbital 2
p
 to 1
s
 is not allowed.
Table 2 only shows transition energies from 60 to 100 Å,
as electrons in quantum dots of radius 10 - 50 Å are not
confined.
C
ONCLUSION
From  our  finite  difference  numerical  solution  of  the
Schrödinger  equation  using  the  BenDaniel-Duke
Hamiltonian,  we  are  able  to  estimate  the  few  lowest
electron states for core-shell CdTe-CdS quantum dots with
FIGURE
 2. Calculated results of core-shell CdTe-CdS quantum dot system for (a) normalized electron radial wavefunction,
R
nl
, with
dot size
r
a
=
r
s
=100 Å and quantum numbers
n
=
l
– 3 and
l
= 0; for the finite difference calculation of of the BenDaniel-Duke
Hamiltonian (
BDDH-FD
); and (b) energy level,
E
n
l
, versus dot size,
r
a
 =
r
s
,
 for the six lowest electron confined states
of the
 BDDH-
CH and
CH-AN
 (classical Hamiltonian with analytical solution) methods. Here, the symbols
with dashed lines are for
BDDH-FD
 and the lines are for
 CH-AN
Core radius (Angstrom)
Radius (Angstrom)
Engery (eV)
Normalized Radial wavefunction R(r)
(a)
(b)
TABLE
1. Calculated electron confined energies,
E
nl
, in core-shell CdTe-CdS quantum dots of sizes
r
a
 =
r
s
 = 20 - 50 Å obtained by
finite difference calculation of BenDaniel-Duke Hamiltonian (
BDDH-FD
); and analytic solution for classical Hamiltonian
(
CH-AN
). Here, ∆E% is the percentage difference in energies of the two computational methods
E
nl
 (meV)
20 Å
50 Å
100 Å
BDDH-FD
CH-AN
ΔE%
BDDH-FD
CH-AN
ΔE%
BDDH-FD
CH-AN
ΔE%
E
10
242
212
14
72
76
5
25
27
7
E
11
-
-
-
159
159
0
53
55
4
E
12
-
-
-
-
-
-
90
91
1
E
20
-
-
-
-
-
-
108
111
3
E
21
-
-
-
-
-
-
168
169
1
E
22
-
-
-
-
-
-
235
233
1
E
30
-
-
-
-
-
-
236
251
1
58
core radii and shell thicknesses of 10 to 100 Å. Compared
to  the  analytical  solution  of  the  Schrödinger  equation
using  classical  Hamiltonian,  the  energy  level  values  for
the  few  lowest  states  differ  by  <  15%.  Wave  functions
and  transition  energies  of  electrons  in  this  quantum  dot
system could also be determined using the finite difference
method.
ACKNOWLEDGMENT
S
We thank the Malaysian Ministry of Science, Technology
and  Innovation  (
MOSTI
)  for  the  eScienceFund  grant
03-01-02-0061  and
UKM
  for  grant  UKM-OUP-NBT-29-
148/2009.
REFERENCES
Alivisatos, A.P. 1996. Semiconductor clusters, nanocrystals, and
quantum dots.
Science
 271: 933-937.
Banyai,  L.  &  Koch,  S.W.  1993.
Semiconductor quantum dots
,
Singapore: World Scientific.
BenDaniel,  D.J.  &  Duke,  C.B.  1966.
Space-charge effects on
electron tunneling
.
Phys. Rev.
 152: 683-692.
Conley, J.W., Duke, C.B., Mahan, G.D. & Tiemann, J.J. 1966.
Electron Tunneling in Metal-Semiconductor Barriers
.
Phys.
Rev.
 150: 466-469.
Klimov,  V.I.,  Mikhailovsky,  A.A.,  Xu,  S.,  Malko,  A.,
Hollingsworth,  J.A.,  Leatherdale,  C.A.,  Eisler,  H.J.  &
Bawendi, M.G. 2000. Optical gain and stimulated emission
in nanocrystal quantum dots.
Science
290: 314-317.
Kuhaimi, S.A.A. 2000. Conduction and valence band offsets of
CdS/CdTe solar cells.
Energy
 25: 731-739.
Madelung, O. 2004.
Semiconductor: Data handbook
. New York:
Springer 3.17:1-26 & 3.19: 1-19.
Schaller, R.D. & Klimov, V.I. 2004. High efficiency carrier
multiplication in PbSe nanocrystals: Implications for solar
energy conversion.
Phys. Rev. Lett
. 92: 1-4.
Schiff,  L.I.  1968.
Quantum Mechanics
.
3
rd
  Ed.  New  York:
McGraw-Hill, p. 76-87.
Schwabl,  F.  1992.
Quantum Mechanics
.  New  York:  Springer
p. 313-324.
C.Y. Woon*, G. Gopir
& A.P. Othman
School of Applied Physics
Faculty of Science and Technology
Universiti Kebangsaan Malaysia
43600 Bangi, Selangor
Malaysia
G. Gopir
Institute of Space Science
Universiti Kebangsaan Malaysia
43600 Bangi, Selangor
Malaysia
*Corresponding author; email:
jackwoon@gmail.com
Received:
7 December 2009
Accepted:
16 July 2010

 

ÇEVİRİSİ

 

Sains Malaysiana 40 (1) (2011): 55-58CdTe-CdS elektron Devletlerin Sonlu Farklar HesaplamaÇekirdek-Kabuk Kuantum Noktaları(Pengiraan Perbezaan Terhingga bagi Keadaan ElektrondalamTitik Kuantum Teras-Petala CdTe-CD'ler)C.Y.WOON *, G.GOPIR ve A.P.OTHMANÖZETEtkili elektron çekirdek malzeme olarak CdTe ile kolloidal çekirdek-kabuk CdTe-CdS kuantum nokta sisteminde teorik sınırlı elektron durumları tespit kütle 0.095 beni, elektronun bariyer malzemesi olarak CdS etkili kitle 0.25Beni ve sahip iletim bandı 0.265 eV ofset. Bir bant etkin kütle yaklaşımı dayanarak, BenDaniel-Duke Hamiltoniyenle bu sistemin Schrödinger denklemi sayısal elektron sınırlı devletlerin enerji seviyesini ve dalga fonksiyonu elde etmek için sonlu farklar yöntemi kullanılarak çözülmüştür. 3 = 0 yörünge kuantum sayısı l - - 3 ve nokta boyutu r = 10-100 Å Bu elektronik parametreler temel kuantum sayısı n = l için bileşke N × N Hamilton matris diagonalising elde edilir. Karşılaştırma için, biz de analitik elektronik özelliklerinin belirlenmesi, klasik Hamiltoniyenin ve benzeri girdi parametreleri ile Schrödinger denklemi çözmek. Özellikle kendi enerji seviyeleri% 15'den az farklılık bu iki hesaplama yöntemleri, sonuçları iyi bir anlaşma var.Anahtar Kelimeler: BenDaniel-Duke Hamilton; çekirdek-kabuk; elektron devlet; kuantum nokta; Schrödinger denklemiABSTRAKKami menentukan secara teori keadaan elektron terkurung dalam sistem titik kuantum teras-petala CdTe-CdS berkoloiddengan CdTe sebagai Bahan teras dengan jisim berkesan elektron 0.095 me, CdS sebagai Bahan sawar dengan jisim berkesan elektron 0.25 me
 dan mempunyai ofset jalur konduksi 0.265 eV olur. Berdasarkan penghampiran jisim berkesan satu jalur, persamaan Schrödinger bagi sistem ini dengan Hamiltonan BenDaniel-Duke telah diselesaikan secara berangka dengan menggunakan kaedah perbezaan terhingga untuk mendapatkan aras Tenaga dan fungsi gelombang bagi elektron yang terkurung. Parametre parametre elektronik ini telah diperoleh dengan memenjurukan matriks Hamiltonan N × Nbagi nombor kuantum prinsipal n = l - 3, nombor kuantum yörünge l = 0-3 dan Saiz titik r = 10 - 100 A. Sebagai perbandingan, kami juga menyelesaikan persamaan Schrödinger secara analitik dengan Hamiltonan klasik dan parametre giriş serupa untuk menentukan sifat-sifat elektronik itu. Terdapat persetujuan yang baik antara dua kaedah komputasi ini dan secara khusus aras Tenaga berbeza dengan kurang daripada% 15. Kata Kunci: Hamilton BenDaniel-Duke; keadaan elektron; persamaan Schrödinger; teras-petala; titik kuantumGİRİŞSon zamanlarda, yarıiletken kuantum noktaları, özellikle nanokristallerin şeklinde, büyük ilgi ve ilgi çekmiştir. Islak kimya teknikleri üretmek için geliştirilen beri kuantum noktalar içeren Araştırma patlattıdar bir büyüklük dağılımına sahip istenen yarıçapı koloidal nanopartiküller (Alivisatos 1996;. Klimov ve arkadaşları 2000). II-VI, yarı iletken materyal kuantum noktaları, kadmiyum tellür (CdTe) arasında çok veren bileşiklerden biri olanYüksek Fotolüminesans kuantum verimi ve basitliği ve yüksek ölçüde tekrarlanabilirliği ile sulu çözelti içinde sentezlenebilir. Nedeniyle II-VI malzemelerin elektro-optik özelliklerinin tirmesi, kendi elektronik bant boşluk lazer uygulamaları ve biolabeling yanı sıra güneş pilleri (Schaller ve Klimov'un 2004) iyileştirilmesi optimize edilebilir.
  Çekirdek-kabuk nanokompozitlerin diğer başarılı sistemler PbSe-PBS ve CdSe-ZnS bulunur. Bu II-VI malzemeler temel yarıiletken farklılıkdielektrik sabiti özellikleri, ofset sabit bant ve etkin kütle en önemli miktarda kafes. Conley ve ark önceki çalışmalarında elde edilen BenDaniel-Duke sınır şartı. (1966) ve BenDaniel veDuke (1966), elektronik zarf fonksiyonu için Schrödinger denklemi çözmek ve kuantum noktaların elektronik özelliklerini tahmin etmek uygulanmıştır. Bu çalışmada, enerji seviyelerini belirlemek ve fonksiyonlarını dalgaelektron sonlu fark ve BenDaniel-Duke Hamiltoniyeni kullanarak Schrödinger denklemi çözerek bir çekirdek-kabuk CdTe-CdS kuantum nokta sisteminde sınırlı. Daha sonra bu analitik olarak elde bu sonuçları karşılaştırınKlasik Hamiltoniyen'i kullanarak.YÖNTEMLERBir çekirdek-kabuk kuantum dot sisteminde bir elektron için kaplama fonksiyonu Schrödinger eşitleme ile verilir, 56HΨ=EΨ. Bu bir bant etkili kitle yaklaşım olarak,H
 Hamilton operatörü, birE
 eigen enerji veΨ=Ψ(r,q,f=)
 R(r)Y(q,f) Özfonksiyonu; neredeR(r) 'Dirradyal bileşeni veY(q,f) Açısal bileşenküresel harmonikler. Bu küre simetrikSistem, çözümleriΨ
 radyal sadece bağımlımesafer; ve çözelti,Ψ
 Böylece tek azaltırboyutlu şekliR(r) (Bányai ve Koch 1993; Schiff1968). Bizim çalışmamızda, küresel çekirdek-kabuk kuantum noktaSistem CdTe çekirdek veya elektron iyi malzeme içerenetkin kütlem1, Yarıçaprbir
  ve potansiyelVbir
  = 0; veCdS shell veya elektron etkili kitle bariyer malzemesim2,kalınlıkrs
 =
 rb
 -rbir
 ve potansiyelVb
 =Vo> 0. Bu çekirdek-kabukkuantum dot sonsuz potansiyel bir ortam içine daldırılırV(r>rb=)∞
 ilerb
 =
 rbir
 +rsBir bağımsız sonuçlananveya izole edilmiş kuantum dot sistemi (Şekil 1 (a) - (b)).
Sistemin ofset iletim bandı olanVb
 -Vbir
 =Vo.Hamiltoniyenin BenDaniel-Duke formu,H
 =-ћ2/ 2 [Ñ(m-1Ñ)] +V(r), Pozisyon bağımlı kitlesi olan bir sistemde kitle devamsızlık sorunu çözmek için Schrödinger denklemi için tanıtıldı,m
 =m(r) (BenDaniel& Duke 1966; Conley ve ark.1996). BenDaniel-Duke Hamiltoniyenle Schrödinger denklemi daha sonra sayısal sonlu farklar yöntemi ile çözülebilir. Özellikle, sonlu farklar yönteminin merkez fark ayrı bir form ile sürekli Schrödinger denklemi yaklaşır:(1)nerede radyal alanır∈
  [0,rb] AyrılmıştırNızgara boyutu bölgelerib=
 rb
 /N
 . Atbenile -th düğüm noktasıben= 0, 1, 2, ...,N,
 pozisyonda lokal değerleri etkiliKitle, potansiyeli ve dalga fonksiyonu vardırrben,mben(r)Vben(r) VeRben(r=)
 Rnl i(r) Kullanılarak değerlendirildi. BenDaniel- uygulayarakDuke (1966) sınır şartı, yani süreklilik (dRben
 /dr) /mben
 veRbenEnrbir; ve sabit sınır koşuluRN + 1= 0rbBiz bir yapıN
 ×N
 Hamilton matrisve özdeğerler çözmekEnl
  ve özfonksiyonlarRnl i.Biz kullanarak bu hesaplama prosedürü gerçekleştirdikN= 100, baş kuantum sayısın= 1 ile 3 ve yörünge içinkuantum sayısıl= 0 çekirdek-kabuk CdTe-CdS için 3Çekirdek yarıçapı kuantum nokta sistemirbir
 = 100 Å 10 veKabuk kalınlığırs=rbir.Sonlu farklar hesaplanan sonuçları doğrulamak içinBenDaniel-Duke Hamilton, biz analitik çözüldüKlasik Hamiltoniyenle Schrödinger denklemi,H= -ћ2Ñ2/2m
 +V(r) Içindeki bu kuantum noktası sistemidışında parametreleri,rs=∞. Sonlu potansiyeli ve konumu ile bu klasik Hamiltonyen için radyal fonksiyonlarile; göre kütle Hankel tip I (1992 Schwabl 1968 Schiff) vardır(2)Analitik yöntem biz ayrıca BenDaniel-Duke sınır koşulu kullanın (dR1(rbir-) /dr) /m1
 = (dR2(rbir+) /dr) /m2
  veR1(rbir-=)R2(rbir+) Arayüz noktasındar=rbir. Ardından, enerjilerEnl
  ve özfonksiyonlarRnl
  Klasik Hamiltoniyenin için köklerini bularak elde edildiaşkın bir denklemin (Eq. 2).SONUÇLAR VE TARTIŞMASimülasyonlar, biz 0.095 ilgili elektron etkili kitleleri kullanmakbeni ve 0.25CdTe ve CdS için bana; veiletim bandı 0.265 eV (Kuhaimi 2000 offset;Madelung 2004). Şekil 2 (a) normalize görüntülemektedirelektron radyal dalga fonksiyonu,Sonlu tarafından üretilen mL,BenDaniel-Duke Hamiltonyenin için fark hesaplamaŞEKİL
 1. Temel kabuğu CdTe-CdS kuantum nokta sistemi gösteren (a) çekirdek ve kabuk katmanları; ve (b) potansiyel profili katmanı(a)(b)57Çekirdek-kabuk CdTe-CdS çekirdekli kuantum nokta sistemikabuk kalınlığı eşit yarıçapı,rbir
 =rs
 = 100 A, ve böylecerb= 200 Å. Sadece ilk üç düşük devletlerin olduğunu göstermektedirBu sistem için sınırlı. Şekil 2 (b) 'nin bir varyasyonunu göstermektedirenerji düzeyi,EnlEn düşük altı eyalette nokta boyutları içinvardırrbir
 =rs
 = 20 - kuantum numaraları ile 100 Ån
 =l
 - 2,l
 = 0-3; Sonlu fark BenDaniel-Duke Hamiltonyenin (her ikisi içinBDDH-FD) ve analitik (CH-AN ile klasik Hamilton) yaklaşır. Hesaplanan sonuçların sıralayarak, sınırlı bir devlet enerji düzeyi olarak bulunmuşturBir parçacık-in-a-box model.Table 1 basitleştirilmiş bir resim için beklendiği gibi nokta yarıçapı ters orantılı gösterir yüzde farkı olarakBenDaniel-Duke türetilmiş sınırlı enerji seviyeleriHamilton ve klasik Hamilton% 15 daha azdır;ve hata yüzdesi artan enerji ile azaldığıseviyesi. Buna ek olarak, Tablo 1 geçişle ilgili bir fikir verirÇekirdek-kabuk elektronların enerjileri CdTe-CdS kuantumnoktalar. CdTe-CdS kuantum noktaları Örneğin, elektronlarBiz 87,3 MeV sağlamak durumunda yarıçapının 50 Å heyecanlı olacakenerji. Bu benzersiz özellik sensörüne yol açabilir veya90 meV - Enerji 80 fotonları yayan uygulama. Bu durumda,daha da Tablo 2 'de elektron geçişi, enerji sunmakhangi temel kuantum bu seçim kuralı izlernumaran
 Orbital kuantum sayısı her zaman daha büyüktürlve orbital 2'den elektron geçişip
 1s
 Müsade edilmez.Tablo 2, sadece 100 60 Å geçiş enerjileri gösteriryarıçapı kuantum noktaları elektronlar olarak 10 - 50 Å değildirsınırlı.CONCLUSIONBizim sonlu fark sayısal çözümdenBenDaniel-Duke kullanarak Schrödinger denklemiHamilton, biz en az tahmin edebiliyoruzve çekirdek-kabuk CdTe-CdS kuantum noktaları için elektron durumlarıŞEKİL
 (A) normalize elektron radyal dalga fonksiyonu için çekirdek-kabuk CdTe-CdS kuantum nokta sistemi 2. Hesaplanan sonuçlarRnlIlenokta boyuturbir=rs= 100 Å ve kuantum sayıların=l- 3 vel= 0; BenDaniel-Duke sonlu farklar hesaplanması içinHamilton (BDDH-FD); ve (b) enerji seviyesi,Enl, Nokta boyutu, karşırbir
 =rs,
 Altı düşük elektron sınırlı devletler içinarasında
 BDDH-CH veCH-AN
 yöntemleri (analitik çözüm ile klasik Hamilton). Burada, sembollerkesik çizgilerle içindirBDDH-FD
 ve çizgiler içindir
 CH-ANÇekirdek yarıçapı (Angström)Radius (Angstrom)Engery (eV)Normalleştirilmiş Radyal dalga fonksiyonu R (r)(a)(b)TABLO1. Hesaplanan elektron sınırlı enerjileri,EnlBoyutlarda çekirdek-kabuk CdTe-CdS kuantum noktaları olarakrbir
 =rs
 = 20-50 Å eldeBenDaniel-Duke Hamiltonyenin sonlu farklar hesabı (BDDH-FD); Klasik Hamiltoniyenin ve analitik çözüm(CH-AN). Burada, AE% iki hesaplama yöntemleri enerjileri yüzdesi farkıEnl
 (meV)20 Â50 Â100 ABDDH-FDCH-ANAE%BDDH-FDCH-ANAE%BDDH-FDCH-ANAE%E10242212147276525277E11---159159053554E12------90911E20------1081113E21------1681691E22------2352331E30------23625115810 Å 100 çekirdek yarıçapı ve kabuk kalınlıkları. KarşılaştırıldığındaSchrödinger denkleminin analitik çözümüenerji düzeyi değerleri için, klasik Hamiltoniyen'i kullanarakBirkaç düşük devletler <% 15 farklıdır. Dalga fonksiyonlarıve bu kuantum nokta elektronların enerjileri geçişSistem ayrıca sonlu fark kullanılarak tespit edilebiliryöntemi.TEŞEKKÜRSBiz Bilim, Teknoloji Malezya Bakanlığı'na teşekkürlerimizive Yenilik (MOSTI) EScienceFund hibe03-01-02-0061 veUKM
  Hibe için UKM-OUP-NBT-29-148/2009.ReferanslarAlivisatos, AP 1996 Yarıiletken kümeleri, nanokristaller vekuantum noktaları.Fen
 271: 933-937.Bányai, L. & Koch, S.W. 1993.Yarıiletken kuantum noktaları,Singapur: World Scientific.BenDaniel, D.J. & Duke, C.B. 1966.Uzay-şarj etkilerielektron tünelleme.Phys. Rev.
 152: 683-692.Conley, JW, Duke, CB, Mahan, GD & Tiemann, JJ 1966.Metal Yarıiletken Engeller Elektron Tünel.Phys.Rev.
 150: 466-469.Klimov, VI Mihaylovski, AA, Xu, S., Malko, A.,Hollingsworth, JA, Leatherdale'e, CA, Eisler, HJ &Bawendi, M.G. 2000. Optik kazanç ve uyarılmış emisyonnanokristal kuantum noktalar halinde.Fen290: 314-317.Kuhaimi, S.A.A. 2000. İletim ve valans bandı uzaklıklarCdS / CdTe güneş pilleri.Enerji
 25: 731-739.Madelung, O. 2004.Yarıiletken: Veri el kitabı. New York:Springer 3.17: 1-26 ve 3.19: 1-19.Schaller, R.D. ve Klimov, V.I. 2004 Yüksek verim taşıyıcıPbSe nanokristalleri de çarpma: güneş Etkilerienerji dönüşümü.Phys. Rev. Lett. 92: 1-4.Schiff, L.I. 1968.Kuantum mekaniği.3rd
  Ed. New York:McGraw-Hill, s. 76-87.Schwabl, F. 1992.Kuantum mekaniği. New York: Springers. 313-324.C.Y. Woon *, G. Gopir& A.P. OthmanUygulamalı Fizik OkuluBilim ve Teknoloji FakültesiUniversiti Kebangsaan Malezya43600 Bangi, SelangorMalezyaG. GopirUzay Bilimleri EnstitüsüUniversiti Kebangsaan Malezya43600 Bangi, SelangorMalezya* Yazışmaların yapılacağı yazar; E-posta:jackwoon@gmail.comAlınan:7 Aralık 2009Kabul:16 Temmuz 2010